5.1.3. Lineární kódy

Lineární kódy se vyznačují tím, že libovolná lineární kombinace kódových slov je opět kódovým slovem. Vyplývá to z toho, že lineární kód tvoří lineární podprostor n-rozměrného prostoru binárních proměnných. Tento podprostor je možné popsat jeho bází. Každý prvek báze je sám kódovým slovem. Báze by měla mít zařazená kódová slova s co nejmenším počtem jedniček, vzájemně nezávislá.
Výhodou binárních lineárních kódů je to, že předpis pro kódování je může být vždy popsán jako soustava rovnic, ve kterých jsou použity operace sčítání a násobení binárních čísel. (Platí 1 + 1 = 0.)
Z důvodu zpřehlednění manipulace s kódovými slovy se kódová slova vyjadřují jako řádkové vektory, které se zapisují do maticových tvarů. Kódová slova báze zapsána pod sebe tvoří generující matici G :



Generující matice má u kódu (n, k) n-sloupců a k-řádků, přičemž n je celkový počet znaků, k je počet znaků nesoucích informaci a n - k = r je počet zabezpečovacích znaků.

Pro matici G musí platit:

• a) každý její řádek je kódovým slovem,
• b) každé kódové slovo je lineární kombinací řádků,
• c) její řádky jsou lineárně nezávislé (hodnost matice G=k).
  Zamění-li se sloupce generující matice G, vzniká jiný kód, ale zabezpečující schopnost kódu se nemění. Tak lze soustředit prvky nesoucí informace na prvních k místech tj. jednotková matice E_k a zbylých r místech tj. matice zabezpečujících prvků R:
  
  

Kódy, u kterých lze generující matici napsat jako součin jednotkové matice a matice zabezpečujících prvků se nazývají systematické kódy. V následujících statích budeme používat zejména takovéto kódy.