Štandardná fundamentálna matica systému




Stavový popis LSDS predstavuje sústavu OLDR 1. rádu s konštantnými koeficientmi. Pre riešenie rovnice


je najskôr nutné vyriešit homogénnu sústavu rovníc (Cauchyho úloha – vektor počiatočných podmienok):


jej riešením je:


kde:
je štandardná fundamentálna matica systému, tiež matica prechodu – prevádza jeden stav na druhý.
Fundamentálna matica systému je báza riešenia homogénnej rovnice (alebo tiež fundamentálna matica riešenia), je matica lineárne nezávislých riešení homogénnej sústavy (bez počiatočných podmienok):
V(t)=(v1(t), v2(t), ...,vn(t)), kde vi(t) sú módy, teda lineárne nezávislé riešenia, v tvare stĺpcových vektorov. Módy riešení sú dané vlastnými číslami matice A, ich násobnosťou a príslušnými vlastnými vektormi.

Platí, že lineárna kombinácia V(t)C lineárne nezávislých riešení homogénnej rovnice je tiež jej riešením (kde C je matica konštánt).

Štandardná (normovaná) fundamentálna matica
je potom taká lineárna kombinácia V(t), ktorá má tú vlastnost, že pre t=0 (všeobecne v počiatku) je rovná jednotkovej matici, teda


Pomocou matice prechodu prechádza jeden stav na druhý; (počiatočný stav na stav v čase t).

Ďalšie vlastnosti fundamentálnej matice


Spôsoby riešenia fundamentálnej matice: klasické riešenie a riešenie s využitím L-T. Niektoré dalšie spôsoby riešenia: využitím Jordanovho tvaru matice A, rozvoj do mocninej rady, ...


Celé cvičenie a príklady sa nachádzajú v nasledujúcej prezentácii:


Nech sa páči, stiahnite si prezentáciu k cvičeniu