8-1111 (Wolfram Mathematica 8.0 for Students - Personal Use Only : www.wolfram.com)

8.1 Integrování - „sčítání” mnoha malých příspěvků

Studijní cíle

Pochopit proces integrování tzv. proužkovou metodou

Umět vysvětlit odvození Riemannova integrálu - pomocí metody horních a dolních součtů a pomocí metody integrálních součtů

Motivace

Abychom pochopili podstatu integrování, vyjděme z formulace následujícího geometrického problému: Nechť je dána spojitá nezáporná funce f(x) v intervalu <a ,b> . Graf této funkce spolu s přímkami o rovnicích x=a ,x=b a osou x vymezí v kartézké soustavě souřadnic rovinný útvar. Naším úkolem je zjistit obsah tohoto rovinného obrazce.

Obr. 8.1.1

Z pohledu na Obr. 8.1.1 jistě plyne, že stanovit číslo vyjadřující obsah rovinného obrazce je naprosto korektní úvaha. Z minulých školních let určitě ještě znáte nějaké vzorce pro výpočet obsahů (kruh, obdélník, lichoběžník, trojúhelník), které bychom snad mohli nějakým způsobem využít. Pokusme se nejdříve stanovit obsah obrazce alespoň přibližně. Kdybychom si nakreslili obrazec na milimetrový papír a spočítali všechny čtverecky o obsahu 1, které se do našeho obrazce vejdou, měli bychom zhruba obsah obrazce vypočítaný. Uvědomíme-li si, že náš útvar není zcela obecný, ale je omezen hned třemi přímkovými útvary a teprve čtvrtý útvar je obecnou křivkou, vidíme, že takové „měření” lze velice snadno zjednodušit. Nakreslíme útvar na milimetrovou síť tak, aby osa x splývala se stranou některé řady čtverečků. Pak stačí jen sečíst obsahy sloupečků, obdélníčků (proužků) s milimetrovou podstavou, které jsou v obrazci obsaženy. Proto tuto metodu nazveme „proužková metoda”. Na Obr. 8.1.2 je proužková metoda naznačena.

Obr. 8.1.2

Z tohoto popisu je vidět, že tímto způsobem dostaneme poměrně přesně obsah obrazce. A právě tato myšlenka je principem integrování. Než tuto myšlenku dovedeme až k matematicky přesnému vyjádření obsahu rovinného obrazce, upozorníme na dvě důležité věci. V našich úvahách budeme používat pouze spojitou funkci f(x) , i když obecná definice pracuje s funkcemi, které nemusí být nutně spojité. A za druhé, délka podstavy obdélníčků (proužků) nemusí být v obecném případě stejná. Na Obr. 8.1.3 je takové dělení intervalu <a ,b> vyznačeno.

Obr. 8.1.3

Dělení intervalu <a,b> je soubor vzestupně řazených hodnot

Délka největšího dílku dělení, tj. hodnota

se nazývá norma dělení.

Zkoumejme, co se děje na i -tém intervalu , vzniklém z tohoto dělení. Jistě je vám jasné, že funkce f(x) je spojitá i na každém takovém intervalu a podle Weierstrassovy věty ( věta 4.6.2) nabývá na uzavřeném intervalu své největší a nejmenší hodnoty. Pro interval a funkci f(x) označme tyto hodnoty jako ,. Sestrojíme-li nad každou základnou obdélník o výšce , dostaneme sadu obdélníkových proužků, které jsou našemu obrazci vepsány. Jejich celkový obsah tedy představuje jistý „dolní odhad” obsahu obrazce. Obdobně celkový obsah obdélníků o výškách sestrojených nad stejnými základnami, a tedy zadanému obrazci opsaných, je „horním odhadem” obsahu obrazce. Označíme-li hledaný obsah obrazce P , můžeme pak psát

Dolní, resp. horní odhad obsahu obrazce nazýváme dolním, resp. horním součtem pro funkci f(x) a dělení D , a značíme

Odhady lze samozřejme zpřesnit, budeme-li dělení intervalu <a ,b> zjemňovat, tzn., že mezi jeho stávající dělící body vložíme další. Dělení , které takto vznikne, se nazývá zjemněním dělení D . Je zřejmé, že norma je menší nebo stejná jako norma ν(D) dělení hrubšího. Uvědomme si, že na každém z těchto nových dílku nemůže funkce dosáhnout nižší nejmenší hodnoty než na dílku původním. Nemůže dosáhnout také vyšší největší hodnoty než na dílku původním. Pro dolní a horní součet zjemněného dělení platí

Jistě budete souhlasit s tím, že když budeme dělení dále zjemňovat, budou se podle předchozí nerovnosti dolní a horní součty k sobě přibližovat (můžeme dokumentovat výpočtem v následujících příkladech). Pro spojitou funkci se dá ukázat, že při limitním přechodu ν(D)→0 limitní hodnoty dolních a horních součtů splynou a definují tak požadovaný obsah obrazce P . Tedy lze dokázat, že pro spojitou funkci definovanou na uzavřeném intervalu platí

Tato společná hodnota limity dolních a horních součtů dané funkce při zjemňujícím se dělení se nazývá Riemannovým integrálem z funkce f(x) na intervalu <a,b> a geometricky představuje plochu obrazce omezeného grafem funkce, osou x a přímkami o rovnicích x=a,x=b . Říkáme také, že funkce f(x) je integrace schopná nebo integrabilní na intervalu <a,b> . Tento integrál označujeme

Příklad 8.1.1.
Pomocí horních a dolních součtů spočítejte přibližně obsah plochy mezi grafem funkce a osou x na intervalu <1,3>. Zvolte nejprve n=1 a dělení postupně zjemňujte (n=2,3,4,10,20). K výpočtu součtů lze využít software Mathematica.

Řešení:

Příklad 8.1.2.
Pomocí horních a dolních součtů spočítejte přibližně obsah plochy mezi grafem funkce a osou x na intervalu <1,4>. Zvolte nejprve n=1 a dělení postupně zjemňujte (n=2,3,4,10,20,40). K výpočtu součtů lze využít software Mathematica.

Řešení:

Možná by vás mohlo napadnout, že bychom při zjišťování obsahu obrazce mohli vytvořit jiný typ součtu, definovaný pro spojitou funkci f(x) a dělení D intervalu <a,b>. V každém intervalu zvolme libovolně bod (viz Obr. 8.1.4), který bude tento interval reprezentovat (tedy zastupovat). Pro všechna i = 0 , 1 , 2 , … , n - 1 platí . Označme

Dostali jsme nový typ součtů, tzv. integrální součty, pro které platí při libovolně zvoleném dělení D

Obr. 8.1.4

Protože pro spojitou funkci splyne pro ν(D)→0 limita horních součtů s limitou dolních součtů (společná hodnota je rovna integrálu funkce f(x) na intervalu <a,b>) můžeme vyslovit následující tvrzení:

Věta 8.1.1 (Nezávislost integrálu na reprezentantech).

Pro integrální součty S(f,D) platí při libovolném výběru reprezentantů

Tento vztah se s výhodou využije později při aplikacích integrálu.

Všimněme si ještě limity Mohli bychom ji chápat tak, že obdélníčky z Obr. 8.1.4 ses tále „ztenčují“ a „zhušťují“ a lépe zakrývají křivočarý lichoběžník určený funkcí f(x) v intervalu <a,b>.

Příklad 8.1.3.
Pomocí integrálních součtů spočítejte přibližně obsah plochy mezi grafem funkce a osou x na intervalu <1,3>. Zvolte nejprve n=1 a dělení postupně zjemňujte (n=2,3,4,10,20). K výpočtu součtů lze využít software Mathematica.

Řešení:

Příklad 8.1.4.
Pomocí integrálních součtů spočítejte přibližně obsah plochy mezi grafem funkce a osou x na intervalu <1,4>. Zvolte nejprve n=1 a dělení postupně zjemňujte (n=2,3,4,10,20,40). K výpočtu součtů lze využít software Mathematica.