8.2  Výpočet určitého integrálu



K výpočtu určitého integrálu lze použít níže uvedenou Leibniz-Newtonovu formuli.


Věta 8.2.1 (Leibniz-Newtonova formule).


Nechť f(x) je integrace schopna na intervalu \langle a,b\rangle. Nechť F(x) je na \langle a,b\rangle spojitá a na (a,b) primitivní funkcí k funkci f(x). Pak
\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a).

Poznámka 8.2.1. 

Předcházející věta ukazuje na možnost jiné definice určitého integrálu. Nazvěme funkci f integrabilní v Newtonově smyslu na intervalu \langle a,b\rangle právě tehdy, když existuje funkce F(x), která je na \langle a,b\rangle spojitá a na (a,b) primitivní k funkci f. V tomto případě definujeme její (Newtonův) integrál rovnicí
\int_a^bf(x)\,dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a).
Použili jsme symbolu \left[F(x)\right]_a^b, jehož se při se při výpočtu využívá a jímž se rozumí číslo F(b)-F(a).

Pokud se hlouběji zamyslíte nad definicí určitého (Riemannova) integrálu, zjistíte, že v jeho definici jsme vůbec nevyužívali pojmu primitivní funkce, tedy integrálu neurčitého. Jak jste si jistě všimli, z Leibniz-Newtonovy formule plyne souvislost mezi určitým a neurčitým integrálem. Takže výpočet určitého integrálu by neměl být žádným velkým problémem, když umíme vypočítat integrál neurčitý. To vám jistě spadl kámen ze srdce.

Abychom lépe porozumněli pojmům horní a dolní integrální součet a souvislost určitého a neurčitého integrálu, ukážeme v následujícím konkrétním příkladu platnost Leibniz-Newtonovy formule.


Vypočtěte \int_0^1x\,dx (Obr. 8.2.1) pomocí metody horních a dolních integrálních součtů a pomocí Leibniz-Newtonovy formule.
Obr. 8.2.1
Obr. 8.2.1

Podle Leibniz-Newtonovy formule platí:
\int_0^1x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{0}{2}=\frac{1}{2}

Spočítejme stejný integrál pomocí metody horních a dolních integrálních součtů. Zvolme dělení intervalu \langle a,b\rangle tak, aby všechny dílky byly stejně velké a bylo jich n. Pak platí

x_i=0+i\cdot\frac{1-0}{n}=\frac{i}{n},
m_i=x_i=0+i\cdot\frac{1-0}{n}=\frac{i}{n},
M_i=x_{i+1}=0+(i+1)\cdot\frac{1-0}{n}=\frac{i+1}{n},
L(f,D)=\sum_{i=0}^{n-1}m_i\cdot(x_{i+1}-x_i)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{i}{n}\cdot (x_{i+1}-x_i)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{i}{n}\cdot\frac{1}{n}=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{i}{n^2}=
= \frac{1}{n^2}\cdot(0+1+\cdots+n-1)=\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2n^2}.
Limitní přechod \nu(D)\to0 odpovídá přechodu n\to\infty. Dostáváme tak
\lim_{n\to\infty}U(f,D)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n}{2n^2}=\frac{1}{2}.
Obdobně spočítáme horní součet.
U(f,D)=\sum_{i=0}^{n-1}M_i\cdot(x_{i+1}-x_i)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{i+1}{n}\cdot (x_{i+1}-x_i)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{i+1}{n}\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{n^2}\cdot\sum_{i=0}^{n-1}(i+1)=
= \frac{1}{n^2}\cdot(1+2+\cdots+n)=\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n}{2}(1+n)=\frac{n^2+n}{2n^2}.
Odtud pak
\lim_{n\to\infty}U(f,D)=lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n}{2n^2}=\frac{1}{2}.
Limita horních součtů pro n\to\infty je stejná jako limita dolních součtů. Tedy Riemannův integrál pro funkce y=x v intervalu \langle 0,1\rangle je rovný \frac{1}{2}  a je shodný s výpočtem určitého integrálu podle Leibniz-Newtonovy formule (viz výše). Je také shodný s obsahem trojúhelníka (Obr. 8.2.2), tedy P=\frac{z\cdot\nu}{2}=\frac{1\cdot1}{2}=\frac{1}{2} . Ověřili jsme tak platnost Leibnit-Newtonovy formule pro konkrétní případ.
Obr. 8.2.2
Obr. 8.2.2

Tento výsledek ukazuje na to, že určité integrály nebudeme muset počítat z jejich definice, ale můžeme k jejich výpočtu využít primitivní funkce (tzn. vypočítat neurčitý integrál a dosadit do něj integrační meze - viz příklad).


Poznámka 8.2.2. 

Abychom mohli používat Leibniz-Newtonovy formule, je nutné vědět, kdy je funkce integrace schopna.

Na to odpoví následující věta.


Věta 8.2.2


Funkce spojitá na uzavřeném intervalu \langle a,b\rangle je tam integrace schopna.
 

Poznámka 8.2.3. 

Z věty 8.2.1 plyne ekvivalence Riemannovy a Newtonovy definice určitého integrálu pro případ, že f(x) je spojitá v \langle a,b\rangle.

Poznámka 8.2.4. 

Věta 8.2.1 jednak ukazuje na úzkou souvislost mezi určitýma neurčitým integrálem a jednak dává jednoduchou metodu pro výpočet určitého integrálu. Ukážeme si její použití na příkladech.


Vypočítejte \int_1^4x^3\,dx.



\int_1^4x^3\,dx=\left[\frac{x^4}{4}\right]_1^4=\frac{256}{4}-\frac{1}{4}=\frac{255}{4}.
Výstup ze software Mathematica :


Klíčová slova

integrace v Newtonově smyslu, Leibniz-Newtonova formule


Úvod    Kapitola 8     Kapitola 8.1    Kapitola 8.2     Kapitola 8.3     Kapitola 8.4     Kapitola 8.5     Kapitola 8.6