Předpokládejme, že f(x) je funkce spojitá a nezáporná v intervalu
\langle a,b\rangle. Potom platí
\int_a^bf(x)\,dx\geq0.
Věta 8.3.4 (Věta o střední hodnotě integrálního počtu).
Jestliže f(x) je funkce spojitá v intervalu
\langle a,b\rangle, pak existuje takové číslo c\in\langle a,b\rangle, že
platí
\int_a^b f(x)\,dx=f(c)\cdot(b-a).
Poznámka 8.3.2.
Jestliže je funkce f(x) nezáporná v intervalu \langle a,b\rangle,
má věta 8.3.4 zajímavou geometrickou interpretaci. Integrál \int_a^bf(x)\,dx,
jak víme, je obsahem obrazce určeného funkcí f(x) definovanou v
\langle a,b\rangle. Číslo (b-a)\cdot f(c) je obsahem obdélníka
o základně b-a a výšce f(c) (Obr.8.3.2). Z obrázku plyne, že
obsah vyšrafované části nalevo od bodu c je roven obsahu vyšrafované části napravo
od bodu c.
Obr. 8.3.2
Poznámka 8.3.3.
Rozšiřme definici integrálu \int_a^bf(x)\,dx i na případ, kdy
a\geq b. Je-li f(x) definována v čísle
a, klademe \int_a^af(x)\,dx=0. Je-li
a>b a je-li f(x) integrace schopna
na intervalu \langle a,b\rangle, klademe
\int_a^bf(x)\,dx=-\int_b^af(x)\,dx. Je zřejmé, že i při této
rozšířené definici integrálu platí všechny věty uvedené v tomto odstavci.
Domníváme se, že jste pochopili souvislost mezi určitým a neurčitým integrálem. Při výpočtu
neurčitých integrálů jsme používali dvě základní integrační metody: metodu per partes a metodu
substituční. Určitě vás bude zajímat, jak tyto metody použijeme u určitých integrálů. Jistě,
mohli bychom postupovat podle Leibniz-Newtonovy formule, tj. nejprve najít primitivní funkci
F(x) k původní funkci (k integrandu) a pak jen dosadit integrační
meze. Někdy je však výhodné pracovat s mezemi tzv. "za pochodu". Myslíme tím to, že v případě,
že změníme při substituční metodě proměnnou, změníme odpovídajícím způsobem i meze integrálu.
Podrobněji se těmito metodami budeme zabývat v následující kapitolce.
