8.4 Integrace per partes a metoda substituční
pro určité integrály
Věta 8.4.1 (Metoda per partes v určitém integrálu).
Nechť mají funkce u(x), v(x) v intervalu \langle a,b\rangle spojité derivace u'(x), v'(x). Pak je
\int_a^bu(x)v'(x)\,dx=\big[\;u(x)v(x)\big]_a^b\;-\int_a^bu'(x)v(x)\,dx.
Poznámka 8.4.1.
Stručněji lze metodu per partes zapsat takto
\int_a^buv'\,dx=\big[\;uv\big]_a^b\;-\int_a^bu'v\,dx.
Vypočítejte \int_{0}^{\pi}x^2\sin x\,dx.
Položme u(x)=x^2, v'(x)=\sin x.
\int_0^\pi x^2\sin x\,dx=\left|\begin{array}{cc}u=x^2&v'=\sin x \\ u'=2x&v=-\cos x\end{array}\right|=
\left[-x^2\cos x\right]_0^\pi+2\cdot\int_0^\pi x\cos x\,dx=\left|\begin{array}{cc}u=x&v'=\cos x \\ u'=1&v=\sin x\end{array}\right|
=
=
\pi^2+2\big[\;x\sin x\big]_0^\pi-2\;\cdot\int_0^\pi\sin x\,dx=\pi^2+2\big[\;\cos x\big]_0^\pi\;=\pi^2-4.
Vypočtěte \int_{0}^{1}2^x\cdot x\,dx.
Položme u=x, v'=2^x.
\int_0^12^x\cdot x\,dx=\left|\begin{array}{cc}u=x&v'=2^x \\ u'=1&v=\frac{2^x}{\ln 2}\end{array}\right|=
\left[\frac{2^x\cdot x}{\ln 2}\right]_0^1-\frac{1}{\ln 2}\cdot \int_0^1 2^x\,dx=
\frac{2}{\ln 2}-\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{1}{\ln 2}\cdot\big[\;2^x\big]_0^1\;=
=
\frac{2}{\ln 2}-\frac{2}{\ln^2 2}+\frac{1}{\ln^2 2}=\frac{2}{\ln 2}-\frac{1}{\ln^2 2}.
Věta 8.4.2 (Substituční metoda v určitém integrálu).
Nechť f(t) je spojitá funkce na intervalu \langle\alpha,\beta\rangle. Nechť funkce g(x) má spojitou derivaci v intervalu \langle a,b\rangle a zobrazuje tento interval do intervalu \langle\alpha,\beta\rangle a současně g(a)=\alpha, g(b)=\beta. Potom platí
\int_a^bf\big(\;g(x)\big)\;g'(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(t)=F(\beta)-F(\alpha).
Poznámka 8.4.2.
Schéma použití věty je obdobné jako u neurčitého integrálu. V integrálu
\int_a^bf\big(\;g(x)\big)\;g'(x)\,dx položíme g(x)=t, g'(x)\,dx=\,dt,
musíme však také transformovat meze integrálu podle rovnic g(a)=\alpha, g(b)=\beta.
Postup je ukázán v následujích dvou příkladech.
Vypočtěte \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^3x}{\sin^6x}\,dx.
Substituce \sin x=t, \cos x\,dx=\,dt převádí meze integrálu takto
Pomocí rovnosti \cos^2x=1-\sin^2x=1-t^2 upravíme integrand a zavedeme substituci
| x | \frac{\pi}{6} | \frac{\pi}{2} |
| t=\sin x | \frac{1}{2} | 1 |
Pomocí rovnosti \cos^2x=1-\sin^2x=1-t^2 upravíme integrand a zavedeme substituci
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^3x}{\sin^6x}\,dx=
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^2x\cdot\cos x}{\sin^6x}\,dx=
\int_{\frac{1}{2}}^1\frac{1-t^2}{t^6}\,dt=\int_\frac{1}{2}^1(t^{-6}-t^{-4})\,dt=
\left[-\frac{1}{5t^5}+\frac{1}{3t^3}\right]_\frac{1}{2}^1
=
=-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}+\frac{32}{5}-\frac{8}{3}=
\frac{58}{15}.
Vypočtěte \int_1^2\frac{x}{(x^2+1)^\frac{3}{2}}\,dx.
x^2+1=t^2
2x\,dx=2t\,dt
x\,dx=t\,dt
2x\,dx=2t\,dt
x\,dx=t\,dt
| x | 1 | 2 |
| t=\sqrt{x^2+1} | \sqrt2 | \sqrt5 |
\int_1^2\frac{x}{(x^2+1)^\frac{3}{2}}\,dx=\int_\sqrt2^\sqrt5\frac{t}{t^3}\,dt=\int_\sqrt2^\sqrt5t^{-2}\,dt=
\left[-\frac{1}{t}\right]_\sqrt2^\sqrt5=\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt5}.
Poznámka 8.4.3.
Jistě jste si všimli, že jsme zavedli substituci x^2+1=t^2 místo
očekávané x^2+1=t. Udělali jsme to proto, abychom se vyhnuli
integrálu s racionálním mocnitelem. Vypočtěte zadaný integrál pomocí substituce
x^2+1=t a oba výpočty porovnejte.
Klíčová slova
metoda per partes, substituční metoda