Určitý integrál

8.5.1 Obsah rovinného obrazce

a) Případ kartézkých souřadnic
Nechť funkce f(x) je nezáporná a integrabilní na intervalu \langle a,b\rangle. Uvažujme rovinný obrazec omezený osou x (y=0), přímkami x=a, x=b a křivkou y=f(x). Pomocí dolních a horních integrálních součtů jsme zavedli pro obsah P uvedeného obrazce (v literatuře se setkáte také s pojmy jako podgraf funkce f, křivočarý lichoběžník) vztah

P=\int_a^bf(x)\,dx.

(8.5.1)

Vypočtěte obsah rovinného obrazce omezeného parabolami y=x^2, x=y^2.

Rovinné obrazce na Obr 8.5.1, 8.5.2 jsou naprosto stejné. Využijme Obr. 8.5.2, kde funkce y=\sqrt xpředstavuje horní větev paraboly x=y^2 vzhledem k dosazení funkce y=f(x) do (8.5.1) pro výpočet obsahu P rovinného obrazce.

Obr. 8.5.1

Obr. 8.5.2

P=\int_0^1\sqrt x\,dx-\int_0^1x^2\,dx=\left[\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1= \frac{2}{3}-\frac 1 3= \frac 1 3.

Při výpočtu obsahu rovinných obrazců si musíme uvědomit jednu skutečnost a sice to, že vzorec (8.5.1) pro výpočet obsahu tohoto obrazce platí pouze pro případ nezáporné funkce. Jak budeme postupovat v případě, že k vymezení rovinného obrazce je použita i záporná funkce, uvidíte v následujícím příkladu.

Vypočtěte obsah rovinného obrazce omezeného osou x, přímkami x=-1, x=5 a grafem funkce y=4-(x-2)^2. Zadaný obrazec vyšrafujte.

Obr. 8.5.3

Obr. 8.5.4

Z Obr. 8.5.3 je vidět, že funkce y=4-(x-2)^2 není na celém integračním intervalu nezáporná. V intervalech \langle-1,0) a (4,5\rangle jsou funkční hodnoty funkce y=4-(x-2)^2 záporné, proto budou odpovídající „proužky” v dolních a horních součtech rovněž přispívat zápornými hodnotami. Obsah obrazce je však vždy kladný. Kdybychom v těchto intervalech provedli reflexi kolem osy x (ze znalostí o transformacích grafů funkcí víme, že k tomu stačí použít v těchto intervalech funkci y=-(4-(x-2)^2)=(x-2)^2-4 - viz Obr. 8.5.4), měli bychom na všech podintervalech nezáporné funkce. S využitím věty 8.3.1 nyní zadaný obsah obrazce lehce vypočítáme takto:

P=\int_{-1}^0 \big(\;(x-2)^2-4\big)\;\,dx+\int_0^4\big(\;4-(x-2)^2\big)\;\,dx+\int_4^5\big(\;(x-2)^2-4\big)\;\,dx=

= \int_{-1}^0(x^2-4x)\,dx+\int_0^4(-x^2+4x)\,dx+\int_4^5(x^2-4)\,dx=

= \left[\frac{x^3}3-2x^2\right]_{-1}^0+\left[-\frac{x^3}3+2x^2\right]_0^4+\left[\frac{x^3}3-2x^2\right]_4^5=

= \frac 1 3+2-\frac {64} 3 +32+\frac {125} 3 -50-\frac {64} 3 + 32=16-\frac 2 3= \frac {46} 3.

V podintervalech, ve kterých je funkce záporná, se dá také, místo reflexe, použít absolutní hodnota. V tom případě bychom postupovali takto:

P=\left|\int_{-1}^0\big(\;4-(x-2)^2\big)\;\,dx\right|+\int_0^4\big(\;4-(x-2)^2\big)\;\,dx+\left|\int_4^5\big(\;4-(x-2)^2\big)\;\,dx\right|=

= \left|\left[-\frac{x^3}{3}+2x^2\right]_{-1}^0\right|+\left[-\frac{x^3}{3}+2x^2\right]_0^4+ \left|\left[-\frac{x^3}{3}+2x^2\right]_4^5\right|=

= \left|-\frac13-2\right|-\frac{64}3+32+\left|-\frac{125}3+50+\frac{64}3-32\right|=\frac{46}3.

Kdybychom si neuvědomili, že funkce je na integračním intervalu i záporná, počítali bychom nejspíše takto:

P=\int_{-1}^5\big(\;4-(x-2)^2\big)\;\,dx=\left[-\frac{x^3}3+2x^2\right]_{-1}^5=-\frac{125}3+50+\frac13-2=\frac{20}3.

Ověříme pomocí software Mathematica, který výsledek je správný:

Vidíme, jak důležité je v tomto případě znát průběhy funkcí.

Vypočítejte obsah obrazce omezeného osou x, funkcí y=\sin x a přímkami x=0, x=2\pi. Obrázek načrtněte (označte P_1 rovinný obrazec omezený osou x, funkcí y=\sin x a přímkami x=0,x=\pi a P_2 rovinný obrazec omezený osou x, funkcí y=\sin x a přímkami x=\pi, x=2\pi).

Obr. 8.5.5

Z Obr. 8.5.5 je vidět, že funkce y=\sin x je v integračním intervalu i záporná. Jistě dovedete odhadnout výsledek v případě, že bychom chtěli z neznalosti situace obsah obrazce takto:

P=\int_0^{2\pi}\sin x\,dx.

Jistě je roven nule. V případě, že v obrazci jsou některé části stejné, není nutné počítat integrál přes všechny podintervaly. V našem případě např. stačí vypočítat obsah obrazce P_1 (viz Obr.8.5.5) a ten vynásobit dvěma, protože obsah obrazce P_2 je stejný. Tedy

P=2\cdot P_1=2\cdot\int_0^\pi\sin x\,dx=2\cdot\left[-\cos x\right]_0^\pi=2(-(-1)+1)=4.

Uměli byste vypočítat obsah rovinného obrazce omezeného osou y, funkcí x=g(y) a přímkami y=c, y=d?

Zřejmě bychom mohli postupovat analogicky k vzorci (8.5.1) pro výpočet obsahu rovinného obrazce omezeného funkcí y=f(x), přímkami x=a, x=b a osou x. Vzorec tedy vypadá takto:

P=\int_c^dg(y)\,dy.

Vypočtěte obsah rovinného obrazce omezeného parabolou x=2-y-y^2 a osou y.

Určíme průsečíky paraboly s osou y\,(x=0) a vrchol paraboly V=[m,n]. Viz Obr. 8.5.6

Obr. 8.5.6

průsečíky s osou y: 2-y-y^2=0 \Rightarrow y_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{-2}=\cases{1\cr {-2}}
vrchol paraboly: x=2-y-y^2=-(y+\frac 12)^2+\frac 94 \Rightarrow x-\frac 94=-(y+\frac12)^2 \Rightarrow V=\left[\frac 94,-\frac 12\right].
Vypočteme obsah

P=\int_{-2}^1(2-y-y^2)\,dy=\left[2y-\frac{y^2}2-\frac{y^3}3\right]_{-2}^1=2-\frac12-\frac13+4+2-\frac83=\frac92.

V příkladu 8.5.1 jsme počítali obsah rovinného obrazce mezi dvěma křivkami. V případě, že obě funkce jsou nezáporné, je výpočet zřejmý. Odvodíme si jej z obrázku 8.5.7

Obr. 8.5.7

Zřejmě tedy platí

P=P_1-P_2=\int_a^bf(x)\,dx-\int_a^bg(x)\,dx=\int_a^b\big(\;f(x)-g(x)\big)\;\,dx,

což je vzorec, který budeme v těchto případech používat. Dá se použít i na následující případ?

Pokuste z obrázku 8.5.8 odvodit výpočet obsahu rovinného obrazce. Dá se použít vzorec \int_a^b\big(\;f(x)-g(x)\big)\;\,dx?

Obr. 8.5.8

Z Obr.8.5.8 plyne

P=P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6 =\int_{a_1}^{a_2}\Big(\;-g(x)-\big(\;-f(x)\big)\;\Big)\;\,dx+

+\int_{a_2}^{a_3}\big(\;-g(x)\big)\;\,dx+ \int_{a_2}^{a_3}f(x)\,dx +\int_{a_3}^{a_4}f(x)\,dx+\int_{a_3}^{a_4}(-g(x))\,dx+\int_{a_4}^{a_5}\big(\;f(x)-g(x)\big)\;\,dx=

=\int_{a_1}^{a_2}\big(\;f(x)-g(x)\big)\;\,dx+\int_{a_2}^{a_3}\big(\;f(x)-g(x)\big)\;\,dx+\int_{a_3}^{a_4}\big(\;f(x)-g(x)\big)\;\,dx+ \int_{a_4}^{a_5}\big(\;f(x)-g(x)\big)\;\,dx=

\int_a^b\big(\;f(x)-g(x)\big)\;\,dx.

Pokud platí na celém intervalu \langle a,b\rangle pro funkce f(x), g(x) vztah g(x)\leq f(x), přičemž funkce f(x), g(x) nemusí být nutně nezáporné, lze obsah rovinného obrazce mezi těmito dvěma funkcemi vypočítat takto:

P=\int_a^b\big(\;f(x)-g(x)\big)\;\,dx.

Určete obsah obrazce omezeného křivkou f(x)=5-(x-2)^2 a přímkou g(x)=x-3. Obrazec načrtněte.

Nejprve zjistíme průsečíky křivek. Zřejmě bude nutné vyřešit rovnici 5-(x-2)^2=x-3. Po úpravě získáme kvadratickou rovnici ve tvaru x^2-3x-4=0, tj. (x-4)(x+1)=0. Kořeny tedy jsou x=4, x=-1. Zadaný obrazec je na Obr.8.5.9.

Obr. 8.5.9

Obsah obrazce vypočítáme podle výše uvedené teorie takto:

\int_{-1}^4(5-(x-2)^2-(x-3))\,dx=\int_{-1}^4(-x^2+3x+4)\,dx=

= \left[-\frac{x^3}3+\frac32x^2+4x\right]_{-1}^4 =(-\frac{64}3+24+16-\frac13-\frac32+4)=

=44+\frac{-128-2-9}6=44-\frac{139}6=\frac{125}6.

Jistě je vám už zcela zřejmé, jak bychom vypočítali obsah obrazce omezeného několika grafy. Pokusíme se o to v následujícím příkladu.

Vypočtěte obsah obrazce omezeného těmito grafy: y=-2^x, y=x^2, y=\frac1x a přímkami x=0 a x=3. Načrtněte obrázek.

Obr. 8.5.10.

Rovinný obrazec si rozdělíme na dva, P_1 a P_2. Jak je z Obr.8.5.10 vidět, bude nutné určit průsečík křivek y=x^2, y=\frac1x. Získáme jej řešením rovnice x^2=\frac1x. Tedy

x^3=1 \Rightarrow x^3-1=0 \Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)=0.

Odtud x=1.

Z nám již známé teorie plyne, že

P=P_1+P_2=\int_0^1(x^2-(-2^x))\,dx+\int_1^3(\frac1x-(-2^x))\,dx=

= \left[\frac{x^3}3+\frac{2^x}{\ln 2}\right]_0^1+\left[\ln|x|+\frac{2^x}{\ln 2}\right]_1^3=

= \frac13+\frac2{\ln2}-\frac1{\ln2}+\ln3+\frac8{\ln2}-\ln1 -\frac2{\ln2}=\frac13+\ln3+\frac7{\ln2}.

b) Případ parametrických rovnic
Uvažujme situaci kdy je graf nezáporné funkce f(x), x\in \langle a,b\rangle , popsán parametrickými rovnicemi x=\varphi(t), y=\psi(t),t\in \langle\alpha,\beta\rangle. Předpokládáme-li, že funkce \varphi(t), \psi(t) jsou spojité, \psi(t)\geq0 v \langle\alpha,\beta\rangle a funkce \varphi(t) má v \langle\alpha,\beta\rangle spojitou derivaci, různou od nuly, pak lze ve vzorci (8.5.1) zavést substituci x=\varphi(t), \,dx=\varphi'(t)\,dt (a=\varphi(\alpha), b=\psi(\beta)). Dostaneme následující vzorec pro výpočet obsahu podgrafu funkce f(x)

P=\int_\alpha^\beta|\psi(t)\varphi'(t)|\,dt.

(8.5.2)

Stejnou substituci budeme zavádět i v dalších aplikacích.

Určete obsah obrazce omezeného osou x a jedním obloukem cykloidy x=r(t-\sin t), y=r(1-\cos t), t\in \langle 0,2\pi\rangle.

Na Obr.8.5.11 vidíme zadaný obrazec, plochu pod obloukem cykloidy. Způsob, jakým cykloida vzniká, naleznete v

Graf 8.5.1

Obr. 8.5.11

Ze zadání x=\varphi(t)=r(t-\sin t) plyne, že \varphi'(t)=r(1-\cos t). Dosazením do vzorce (8.5.2) vypočítáme obsah

P=\int_0^{2\pi}r(1-\cos t)r(1-\cos t)\,dt=r^2\cdot \int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt= r^2\cdot\int_0^{2\pi}(1-2\cos t+ \cos^2 t)\,dt =

=r^2\cdot\left[t-2\sin t+\frac{t+\sin t \cos t}2\right]_0^{2\pi}= r^2\cdot\left(2\pi+\frac{2\pi}2\right)=3\pi r^2.

Úvod Kapitola 8 Kapitola 8.1 Kapitola 8.2 Kapitola 8.3 Kapitola 8.4 Kapitola 8.5 Kapitola 8.6

Podkapitola 8.5.1 Podkapitola 8.5.2 Podkapitola 8.5.3 Podkapitola 8.5.4