8.5.2  Délka rovinné křivky


a) Případ kartézkých souřadnic
Nechť y=f(x) je funkce definovaná na intervalu \langle a,b\rangle a mající zde spojitou derivaci. Buď D: a=x_0<x_1<\cdots< x_n=b dělení intervalu \langle a,b\rangle .
Obr. 8.5.12

Dělící body určují body T_i=[x_i,f(x_i)] grafu funkce y=f(x) . Spojme každé dva sousední body úsečkou (Obr.8.5.12). Délka i -té úsečky je

\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+\big(\;f(x_i)-f(x_{i-1})\big)\;^2}.
Podle věty o střední hodnotě (věta 8.3.4) existuje \xi_i \in (x_{i-1},x_i) tak, že f(x_i)-f(x_{i-1})=f'(\xi_i)\cdot(x_i-x_{i-1}) . Pak i -tá úsečka má délku
\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+\big(\;f'(\xi_i)\cdot(x_i-x_{i-1})\big)\;^2}=\sqrt{1+f'^2(\xi_i)}\cdot(x_i-x_{i-1})
a délka celé vepsané lomené čáry je
\sum_{i=1}^n\sqrt{1+f'^2(\xi_i)}\cdot(x_i-x_{i-1})=\sum(D,\sqrt{1+f'^2},E),
kde E značí množinu všech čísel \xi_i . Tato suma vyjadřuje délku uvažované křivky tím přesněji, čím je jemnější dělení D . Délku L dané křivky v rovině pak definujeme
L=\lim_{\nu(D)\rightarrow0}\sum(D,\sqrt{1+f'^2},E)=\int_a^b\sqrt{1+f'^2(x)}\,dx.


V řešení naleznete ukázku, jak je křivka f(x)=-x^2+4x na intervalu \langle 0,4\rangle nahrazována lineární lomenou čarou při zjemňujícím se dělení daného intervalu.

Klikněte na obrázek pro další snímek


Určete délku rovinné křivky y=\ln x mezi body x_1=\sqrt3, x_2=\sqrt8 .


Obr. 8.5.13
L=\int_{\sqrt3}^{\sqrt8}\sqrt{1+f'^2(x)}\,dx=\int_{\sqrt3}^{\sqrt8}\sqrt{1+\frac1{x^2}}\,dx= \int_{\sqrt3}^{\sqrt8}\frac{\sqrt{1+x^2}}x\,dx=\int_{\sqrt3}^{\sqrt8}\frac{\sqrt{1+x^2}\cdot x}{x^2}\,dx=
substituce: x^2+1 = t^2 meze: x \sqrt3 \sqrt8
2x\,dx = 2t\,dt t 2 3
x\,dx = t\,dt
=\int_2^3\frac{t^2}{t^2-1}\,dt=\int_2^3\frac{t^2-1+1}{t^2-1}\,dt=\int_2^3(1+\frac1{t^2-1})\,dt= \int_2^3\,dt+\frac12\cdot\int_2^3\frac{(t+1)-(t-1)}{(t+1)(t-1)}\,dt=
=\big[\;t\big]_2^3\;+\frac12\cdot\int_2^3\left(\frac1{t-1}-\frac1{t+1}\right)\,dt= 1+\frac12\cdot\big[\;\ln(t-1)-\ln(t+1)\big]_2^3\;=1+\frac12\ln2-\frac12\ln4+\frac12\ln3= 1+\frac12\ln\frac32.

b) Případ parametrických rovnic
Uvažujme parametrické rovnice x=\varphi(t),y=\psi(t), t\in \langle\alpha,\beta\rangle , křivky určené grafem funkce f . Pak délka křivky je dána vztahem
L=\int_\alpha^\beta\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}\,dt.


Vypočtěte délku křivku (asteroidy) určené rovnicemi x=r\cos^3t, y=r\sin^3t, t\in \langle0,2\pi\rangle .

Na Obr. 8.5.14 vidíme zadanou křivku, kterou nazýváme asteroida. Způsob, jakým asteroida vzniká, naleznete v
graf 8.5.2
Graf 8.5.2
Obr. 8.5.14

Ze zadání plyne, že \varphi'(t)=-3r\cos^2t\sin t, \psi'(t)=3r\sin^2t\cos t . Délku zadané křivky pak vypočítáme takto

L=4\cdot\int_0^{\frac\pi2}\sqrt{9r^2\cos^4t\sin^2t+9r^2\sin^4t\cos^2t}\,dt=12r\cdot\int_0^{\frac\pi2}\sin t\cos t\,dt= 12r\cdot\int_0^1u\,du=12r\cdot\left[\frac{u^2}2\right]_0^1=6r.




Úvod    Kapitola 8     Kapitola 8.1    Kapitola 8.2     Kapitola 8.3     Kapitola 8.4     Kapitola 8.5     Kapitola 8.6