8.5.3  Objem rotačního tělesa


a) Případ kartézkých souřadnic
Nechť f(x) je nezáporná spojitá funkce definovaná na intervalu \langle a,b\rangle. Uvažujme rotační těleso, jenž vznikne, otáčí-li se rovinný obrazec omezený osou x, přímkami x=a,x=b a křivkou y=f(x) kolem osy x:
Obr. 8.5.14

Zvolme dělení D: a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b   intervalu \langle a,b\rangle, a reprezentanty dělících intervalů \xi_1, i=1,2,\ldots,n. Pro každé i nahradíme část rotačního tělesa příslušející souřadnicím \xi_i\in\langle x_{i-1},x_i\rangle rotačním válcem o poloměru podstavy f(\xi_i) a výšce x_i-x_{i-1} (Obr. 8.5.15).

Obr. 8.5.15

Sečteme-li objemy všech těchto rotačních válců, dostaneme číslo

\sum_{i=1}^n\pi f^2(\xi_i)(x_i-x_{i-1}),
což je integrální součet odpovídající funkci \pi f^2, dělení D a nějakému výběru reprezentantů E. Provedeme-li nám již známý limitní přechod z definice Riemannova integrálu, dostaneme vzorec pro výpočet objemu rotačního tělesa
V=\pi\cdot\int_a^bf^2(x)\,dx.



Vypočtěte objem tělesa vzniklého rotací obrazce omezeného grafy funkcí y=0, y=1, přímkami x=1, x=3 kolem osy x.

Není těžké si představit zadaný obrazec i těleso vzniklé jeho rotací kolem osy x. Zkuste si je nejprve sami načrtnout a pak kliknutím
Vypočítáme objem:
V=\pi\cdot\int_a^bf^2(x)\,dx=\pi\cdot\int_1^31^2\,dx=\pi\cdot[x]_1^3=2\pi.



Vypočtěte objem tělesa vzniklého rotací obrazce omezeného grafy funkcí y=0, y=-\frac12x+2, přímkami x=0, x=3 kolem osy x.

Daný obrazec i těleso vzniklé jeho rotací kolem osy x zobrazíte .
Vypočítáme objem:
V=\pi\cdot\int_0^3(-\frac12x+2)^2\,dx=\pi\cdot\int_0^3(-\frac14x^2-x+4)\,dx= \pi\cdot\left[\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}2+4x\right]_0^3=\pi\cdot\left(\frac{27}{12}-\frac92+12\right)= \frac{39}4\pi.



Vypočtěte objem tělesa vzniklého rotací křivky y=\sin x pro x\in \langle 0,\pi\rangle kolem osy x. (Obr. 8.5.16).

Daný obrazec i těleso vzniklé jeho rotací kolem osy x zobrazíte .
V=\pi\cdot\int_0^\pi\sin^2x\,dx=\pi\cdot\int_0^\pi\frac{1-\cos2x}2\,dx=\frac\pi2\cdot\left[ x-\frac{\sin2x}2\right]_0^\pi=\frac{\pi^2}2.

Obr. 8.5.16

b) Případ parametrických rovnic
Objem tělesa vzniklého rotací křivky x=\varphi(t),y=\psi(t), t\in \langle\alpha,\beta\rangle kolem osy x se vypočítá podle vzorce
V=\pi\cdot\int_\alpha^\beta\psi^2(t)\cdot|\varphi'(t)|\,dt.


Vypočtěte objem tělesa vzniklého rotací křivky \varphi(t)=3\cos t,\psi(t)= \frac32\sin t, t\in \langle 0,\pi\rangle kolem osy x (Obr. 8.5.17 - horní půlelipsa).

Obr. 8.5.17

Platí \varphi'(t)=-3\sin t pro t\in(0,\pi), dosadíme do vzorce

V=\pi\cdot\int_0^\pi\left(\frac32\right)^2\sin^2t\cdot|-3\sin t|\,dt= \frac{27}4\pi\cdot\int_0^\pi \sin^3t\,dt=\frac{27}4\pi\cdot\int_0^\pi(1-\cos^2t)\sin t\,dt= \frac{27}4\pi\cdot\int_{-1}^1(1-u^2)\,du=9\pi
Zadané rotační těleso lze vykreslit pomocí softwaru Mathematica:
Uvedený příkaz vykreslil rotační těleso vzniklé rotací křivky zadané parametricky. Vzhledem k základní syntaxi příkazu RevolutionPlot3D jsme vyměnili rovnice pro xa y, jinak by výsledkem bylo těleso rotující kolem osy y. Pro lepší orientaci sledujte označení jednotlivých os.




Úvod    Kapitola 8     Kapitola 8.1    Kapitola 8.2     Kapitola 8.3     Kapitola 8.4     Kapitola 8.5     Kapitola 8.6