8.5.4 Plášť rotačního tělesa
a) Případ kartézkých souřadnic
Nechť f(x) je spojitá nezáporná funkce se spojitou derivací na
\langle a,b \rangle. otáčí-li se rovinný obrazec omezený přímkami x=a,x=b, osou
x a křivkou y=f(x) kolem osy x,
vznikne rotační těleso. Obsah jeho pláště (bez obou podstav, existují-li) vypočítáme pomocí následujícího vzorce
S=2\pi\cdot\int_a^bf(x)\cdot\sqrt{1+f'^2(x)}\,dx.
Vypočtěte obsah kulového pásu vzniklého rotací grafu funkce
f(x)=\sqrt{R^2-x^2}, x\in\langle x_1,x_2\rangle kolem osy x.
Předpokládá se, že -R<x_1<x_2<R.
graf funkce
S=2\pi\cdot\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{R^2-x^2}\cdot\sqrt{1+\frac{x^2}{R^2-x^2}}\,dx=
2\pi\cdot\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{R^2-x^2}\cdot\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}\,dx=
=2\pi R\cdot\int_{x_1}^{x_2}\,dx=2\pi R(x_2-x_1)=2\pi R\nu,
kde \nu je vzdálenost bodů x_1, x_2
(„výška” kulového pásu).
Poznámka 8.5.1.
Je-li x_1=-R, x_2=R, pak \nu=2R a z
předcházejícího výsledku dostaneme limitním přechodem (derivace f'(x)
není pro \pm R definována) známý vzorec pro výpočet povrchu koule,
S=4\pi R^2.
b) Případ parametrických rovnic
Je-li funkce f zadána parametrickými rovnicemi
x=\varphi(t),y=\psi(t), t\in \langle\alpha,\beta\rangle,
lze plášť rotačního tělesa vypočítat takto
S=2\pi\cdot\int_\alpha^\beta\psi(t)\cdot\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}\,dt.
Vypočtěte obsah plochy vzniklé rotací křivky x=R\cdot\cos t, y=R\cdot\sin t
(R>0), t\in \langle0,\pi\rangle kolem osy x.
Všimněte si, že parametrickými rovnicemi je zadána horní půlkružnice o poloměru
R a rotací vznikne opět kulová plocha, jako v předcházejícím příkladě.
S=2\pi\cdot\int_0^\pi R\sin t\cdot\sqrt{(-R\sin t)^2 +(R\cos t)^2}\,dt=2\pi R^2\cdot\int_0^\pi\sin t\,dt
=2\pi R^2\cdot[-\cos t]_0^\pi=4\pi R^2.
Vypočtěte obsah kulového pásu vzniklého rotací grafu funkce f(x)=\sqrt{R^2-x^2}, x\in\langle x_1,x_2\rangle kolem osy x. Předpokládá se, že -R<x_1<x_2<R.
graf funkce
S=2\pi\cdot\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{R^2-x^2}\cdot\sqrt{1+\frac{x^2}{R^2-x^2}}\,dx=
2\pi\cdot\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{R^2-x^2}\cdot\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}\,dx=
=2\pi R\cdot\int_{x_1}^{x_2}\,dx=2\pi R(x_2-x_1)=2\pi R\nu,
kde \nu je vzdálenost bodů x_1, x_2
(„výška” kulového pásu).
Poznámka 8.5.1.
Vypočtěte obsah plochy vzniklé rotací křivky x=R\cdot\cos t, y=R\cdot\sin t (R>0), t\in \langle0,\pi\rangle kolem osy x.
Všimněte si, že parametrickými rovnicemi je zadána horní půlkružnice o poloměru R a rotací vznikne opět kulová plocha, jako v předcházejícím příkladě.
S=2\pi\cdot\int_0^\pi R\sin t\cdot\sqrt{(-R\sin t)^2 +(R\cos t)^2}\,dt=2\pi R^2\cdot\int_0^\pi\sin t\,dt
=2\pi R^2\cdot[-\cos t]_0^\pi=4\pi R^2.