8.6  Aplikace určitého integrálu ve fyzice



V této části uvedeme některé jednoduché příklady aplikací určitého integrálu ve fyzice. Jejich odvození naleznete např. v knize [16]. KNICHAL, V. Matematika 2. Vyd. 1. Praha : Státní nakladatelství technické literatury, 1966. 600 s.

a) Práce proměnné síly po dané dráze.

Předpokládejme, že v bodech úsečky AB, která leží v ose x , působí síla F, která má s osou x souhlasnou orientaci a závisí na x-ové souřadnici působiště síly, F= F(x) (Obr. 8.6.1). Mění-li se síla v závislosti na proměnné x, mění se i její x-ová souřadnice F_x, tedy je funkcí proměnné x, F(x)=f(x). Definujeme práci W, kterou vykonává proměnná síla F na intervalu <a,b> určitým integrálem z funkce f(x)
W=\int_a^bf(x)\,dx.
Obr. 8.6.1
b) Určení statických momentů a těžiště rovinných útvarů.

Připoměňme si, jak jsou ve fyzice definovány hmotný bod, statický moment a těžiště soustavy hmotných bodů. Pro přesnější pochopení pojmů si vyhledejte příslušnou literaturu.

Hmotným bodem rozumíme bod B, jemuž je přiřazeno určité kladné číslo m vyjadřující velikost hmoty v něm soustředěné. Je to objekt, jehož rozměry a tvar jsou zanedbatelné, ale tento objekt má přiřazenu hmotnost o určité velikosti. Uvažujme nyní pravoúhlý souřadnicový systém v rovině. Nechť B je hmotný bod o hmotě m a souřadnicích (x_0,y_0). Statický moment S_x tohoto hmotného bodu vzhledem k ose x definujeme rovností S_x=m\cdot y_0 a statický moment S_y vzhledem k ose y této soustavy je definovaný rovností S_y=m\cdot x_0.

Jestliže máme dánu soustavu konečně mnoha hmotných bodů B_1,B_2,\ldots,B_k o hmotách m_1,m_2,\ldots, m_k s dvojicemi souřadnich (x_1,y_1), (x_2,y_2),\ldots,(x_k,y_k), statický moment S_x vzhledem k ose x a statický moment S_y vzhledem k ose y této soustavy je definovaný rovností

S_x=\sum_{i=1}^km_iy_i, \qquad S_y=\sum_{i=0}^km_ix_i.

Těžištěm soustavy hmotných bodů nazýváme takový bod, že soustředíme-li v něm hmotu celé soustavy,

M=\sum_{i=1}^km_i,
pak statické momenty tohoto hmotného bodu vzhleddem k jednotlivým osám jsou stejné jako statické mometny celé soustavy bodů. Těžištěm soustavy tak rozumíme bod T=[x_t,y_t], pro který platí
x_t=\frac {S_y}M, \qquad y_t=\frac{S_x}M.

U geometrických objektů jako jsou křivka v rovině nebo rovinný obrazec, lze definovat statický moment a souřadnice těžiště obdobným způsobem, přičemž součty jsou „nahrazeny” integrály. Budeme předpokládát, že tyto objekty mají určitou hmotu (hmotné křivce odpovídá fyzikální představa tenkého drátu apod.) a jejich hustota (tj. hmota na jednotku délky, popř. plochy) obecně nemusí být konstantní (je funkcí proměnné x, resp. parametru t).

\alpha) Statický moment a těžiště oblouku křivky.

Uvažujme v rovině křivku y=f(x) pro x\in\langle a,b\rangle (představující hmotné těleso, např. tenký drát), kde f(x) má spojitou derivaci na intervalu \langle a,b\rangle. Předpokládejme, že hmotnost jednotky délky, tj. délková hustota, je spojitou funkcí proměnné x, označme si ji např. s(x). Tzn., že v bodě [x,f(x)] je hustota materiálu s(x). Celková hmotnost tělesa (hmota křivky) se spočítá pomocí vzorce

M=\int_a^b s(x)\cdot\sqrt{1+f'^2(x)}\,dx,
statické momenty vzhledem k souřadným osám vzorci
S_x=\int_a^bs(x)f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}\,dx, \qquad S_y=\int_a^bs(x)x\sqrt{1+f'^2(x)}\,dx.
Souřadnice těžiště T=[x_t,y_t] jsou dány již zmíněnými vzorci
x_t=\frac{S_y}M, \qquad y_t=\frac {S_x}M.

Je-li křivka dána parametricky x=\varphi(t), y=\psi(t), t\in \langle \alpha,\beta\rangle, kde \varphi(t),\psi(t) mají spojité derivace na \langle \alpha, \beta\rangle a pro t_1\not=t_2 je [\varphi(t_1),\psi(t_1)]\not=[\varphi(t_2), \psi(t_2)], a je-li její hustota dána spojitou funkcí s(t)na\langle \alpha, \beta\rangle , pak

M=\int_\alpha^\beta s(t)\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}\,dt,\qquad S_x=\int_\alpha^\beta s(t)\psi(t)\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}\,dt,
S_y=\int_\alpha^\beta s(t)\varphi(t)\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}\,dt.
Souřadnice těžiště se vypočítají jako v předcházejícím případě.



Určete těžiště oblouku asteroidy v prvním kvadrantu: x=a\cos^3t, y=a\sin^3t, s(t)=1 t\in \langle 0,\frac\pi2\rangle (viz Obr.8.5.14).

V příkladu 8.5.11 jsme počítali délku asteroidy L. Protože je s(x)=1, je délka L asteroidy rovna její hmotnosti, ale v našem případě uvažujeme pouze čtvrtinu asteroidy, tedy M=\frac14L=\frac32a.
S_x=\int_0^\frac\pi2a\sin^3t\cdot3a\sin t\cos t\,dt= 3a^2\cdot\int_0^\pi2\cos^4t\sin t\,dt= 3a^2\cdot\int_0^1u^4\,du=3a^2\cdot\left[\frac{u^5}5\right]_0^1=\frac {3a^2}5
S_y=\int_0^\frac\pi2a\cos^3t\cdot3a\cos t\sin t\,dt= 3a^2\cdot\int_0^\pi2\sin^4t\cos t\,dt= -3a^2\cdot\int_1^0u^4\,du=3a^2\cdot\left[\frac{u^5}5\right]_0^1=\frac {3a^2}5
Souřadnice těžiště
T=\left[\frac{\frac{3a^2}5}{\frac{3a}2},\frac{\frac{3a^2}5}{\frac{3a}2}\right]= \left[\frac{2a}5, \frac{2a}5\right].

\beta) Statický moment a těžiště rovinného křivky.

Nechť je dán rovinný obrazec omezený osou x přímkami x=a, x=b a grafem spojité nezáporné funkce y=f(x). Nechť je plošná hustota dána funkcí s(x) spojitou derivaci na \langle a,b\rangle. Pak celková hmota a statické momenty vzhledem k souřadným osám jsou dány vzorci

M=\int_a^bs(x)f(x)\,dx, \qquad S_x=\frac12\cdot\int_a^bs(x)f^2(x)\,dx, \qquad S_y=\int_a^bs(x)xf(x)\,dx.
Všimněte si, že má-li plošná jednotka hmotu rovnu jedné (stručně říkáme, že uvažovaný obrazec má jednotkovou plošnou hustotu), pak celková hmota M daného křivočarého lichoběžníka se číselně rovná jeho obsahu
M=P=\int_a^bs(x)f(x)\,dx.


Vypočtěte polohu těžiště plochy omezené půlelipsou a osou x, Obr.8.6.2. Rovnice elipsy je f(x)=b\cdot\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} . Uvažujme s(x)=1 pro všechna x\in \langle -a,a\rangle.
Obr. 8.6.2

M=\int_{-a}^{+a}f(x)\,dx=\frac\pi2ab \qquad (subst. x=a\cos t - 2.substituční metoda)
S_y=\frac ba\cdot\int_{-a}^{+a}x\cdot\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\qquad=-\int_0^0t^2\,dt=0
S_x=\frac 12\cdot \frac{b^2}{a^2} \cdot\int_{-a}^{+a}(a^2-x^2)\,dx=\frac{b^2}{2a^2}\cdot \left[a^2x-\frac{x^3}3\right]_{-a}^{+a}=\frac23ab^2.
Souřadnice těžiště
x_t=\frac{S_y}M=0, \qquad y_t=\frac{S_x}M=\frac{\frac23ab^2}{\frac\pi2ab}=\frac{4b}{3\pi}.
Poloha těžiště nezávisí na délce poloosy a. Tedy půlkruh o poloměru b má těžiště ve stejné výšce jako půlelipsa.

c) Moment setrvačnosti rotačního tělesa vzhledem k ose rotace.
Moment setrvačnosti je fyzikální veličina, která vyjadřuje míru setrvačnosti tělesa při otáčivém pohybu. Její velikost závisí na rozložení hmoty v tělese vzhledek ose otáčení. Moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů je dán součtem momentů setrvačnosti jednotlivých bodů.

Uvažujme rotační těleso (jednotkové hustoty) vzniklé rotací kolem osy x křivočarého lichoběžníka ohraničeného shora grafem spojité nezáporné funkce y=f(x) v mezích x=a, x=b (Obr. 8.5.15). Moment setrvačnosti I_x daného rotačního tělesa vzhledem k ose x lze určit ze vzorce

I_x=\frac\pi2\cdot\int_a^bf^4(x)\,dx.

Klíčová slova

integrace v Newtonově smyslu, Leibniz-Newtonova formule

Úvod    Kapitola 8     Kapitola 8.1    Kapitola 8.2     Kapitola 8.3     Kapitola 8.4     Kapitola 8.5     Kapitola 8.6