8.1 Integrov´ní - „sčít´ní“ mnoha malých
příspěvků

Motivace
Abychom pochopili podstatu integrov´ní, vyjděme z formulace n´sledujícího geometrického problému: Nechť je d´na spojit´ nez´porn´ funkce f(x) v intervalu ⟨a,b⟩. Graf této funkce spolu s přímkami o rovnicích x = a, x = b a osou x vymezí v kartézské soustavě souřadnic rovinný útvar. Naším úkolem je zjistit obsah tohoto rovinného obrazce.

Z pohledu na Obr. 8.1.1 jistě plyne, že stanovit číslo vyjadřující obsah rovinného obrazce je naprosto korektní úvaha. Z minulých školních let určitě ještě zn´te nějaké vzorce pro výpočet obsahů (kruh, obdélník, lichoběžník, trojúhelník), které bychom snad mohli nějakým způsobem využít. Pokusme se nejdříve stanovit obsah obrazce alespoň přibližně. Kdybychom si nakreslili obrazec na milimetrový papír a spočítali všechny čtverečky o obsahu 1mm², které se do našeho obrazce vejdou, měli bychom zhruba obsah obrazce vypočítaný. Uvědomíme-li si, že n´š útvar není zcela obecný, ale je omezen hned třemi přímkovými útvary a teprve čtvrtý útvar je obecnou křivkou, vidíme, že takové „měření“ lze velice snadno zjednodušit. Nakreslíme útvar na milimetrovou síť tak, aby osa x splývala se stranou některé řady čtverečků. Pak stačí jen sečíst obsahy sloupečků, obdélníčků (proužků) s milimetrovou podstavou, které jsou v obrazci obsaženy. Proto tuto metodu nazveme „proužkov´ metoda“. Na Obr. 8.1.2 je proužkov´ metoda naznačena.

Z tohoto popisu je vidět, že tímto způsobem dostaneme poměrně přesně obsah obrazce. A pr´vě tato myšlenka je principem integrov´ní. Než tuto myšlenku dovedeme až k matematicky přesnému vyj´dření obsahu rovinného obrazce, upozorníme na dvě důležité věci. V našich úvah´ch budeme používat pouze spojitou funkci f(x), i když obecn´ definice pracuje s funkcemi, které nemusí být nutně spojité. A za druhé, délka podstavy obdélníčků (proužků) nemusí být v obecném případě stejn´. Na Obr. 8.1.3 je takové dělení intervalu ⟨a,b⟩ vyznačeno.

Dělení

dělení intervalu intervalu ⟨a,b⟩ je soubor vzestupně řazených hodnot

norma dělení dělení.

Zkoumejme, co se děje na i-tém intervalu ⟨x_i,x_i+1⟩, 0 ≤ i ≤ n- 1, vzniklém z tohoto dělení. Jistě je v´m jasné, že funkce f(x) je spojit´ i na každém takovém intervalu a podle Weierstrassovy věty (věta 4.6.2) nabýv´ na uzavřeném intervalu své největší a nejmenší hodnoty. Pro interval ⟨x_i,x_i+1⟩ a funkci f(x) označme tyto hodnoty jako m_i, M_i. Sestrojíme-li nad každou z´kladnou x_ix_i+1 obdélník o výšce m_i, dostaneme sadu obdélníkových proužků, které jsou našemu obrazci veps´ny. Jejich celkový obsah tedy představuje jistý „dolní odhad“ obsahu obrazce. Obdobně celkový obsah obdélníků o výšk´ch M_i sestrojených nad stejnými z´kladnami, a tedy zadanému obrazci opsaných, je „horním odhadem“ obsahu obrazce. Označíme-li hledaný obsah obrazce P, můžeme pak ps´t

dolní, horní součet resp. horním součtem pro funkci f(x) a dělení D, a značíme

Odhady lze samozřejmě zpřesnit, budeme-li dělení intervalu ⟨a,b⟩ zjemňovat, tzn., že mezi jeho st´vající dělící body vložíme další. Dělení D, které takto vznikne, se nazýv´ zjemněním

zjemnění dělení dělení D. Je zřejmé, že norma ν(D ) je menší nebo stejn´ jako norma ν(D) dělení hrubšího. Uvědomme si, že na každém z těchto nových dílků nemůže funkce dos´hnout nižší nejmenší hodnoty než na dílku původním. Nemůže dos´hnout také vyšší největší hodnoty než na dílku původním. Pro dolní a horní součet zjemněného dělení platí

Jistě budete souhlasit s tím, že když budeme dělení d´le zjemňovat, budou se podle předchozí nerovnosti dolní a horní součty k sobě přibližovat (můžeme dokumentovat výpočtem v n´sledujících příkladech). Pro spojitou funkci se d´ uk´zat, že při limitním přechodu ν(D) → 0 limitní hodnoty dolních a horních součtů splynou a definují tak požadovaný obsah obrazce P. Tedy lze dok´zat, že pro spojitou funkci definovanou na uzavřeném intervalu platí

Tato společn´ hodnota limity dolních a horních součtů dané funkce při zjemňujícím se dělení se nazýv´ Riemannovým integrálem z funkce f(x) na intervalu ⟨a,b⟩

Riemannův integr´l a geometricky představuje plochu obrazce omezeného grafem funkce, osou x a přímkami o rovnicích x = a, x = b. Řík´me také, že funkce f(x) je integrace schopná nebo integrabilní na intervalu ⟨a,b⟩. Tento integr´l označujeme

Řešení: 

Řešení: 

Možn´ by v´s mohlo napadnout, že bychom při zjišťov´ní obsahu obrazce mohli vytvořit jiný typ součtů, definovaný pro spojitou funkci f(x) a dělení D intervalu ⟨a,b⟩. V každém intervalu ⟨x_i,x_i+1⟩ zvolme libovolně bod ξ_i (viz Obr. 8.1.4), který bude tento interval reprezentovat (tedy zastupovat). Pro všechna i = 0,1,2,…,n - 1 platí m_i ≤ f(ξ_i) ≤ M_i. Označme

integr´lní součty pro které platí při libovolně zvoleném dělení D

Protože pro spojitou funkci splyne pro ν(D) → 0 limita horních součtů s limitou dolních součtů (společn´ hodnota je rovna integr´lu z funkce f(x) na intervalu ⟨a,b⟩) můžeme vyslovit n´sledující tvrzení:

Pro integr´lní součty S(f,D) platí při libovolném výběru reprezentantů

Věta 8.1.1 (Nez´vislost integr´lu na reprezentantech).

Tento vztah se s výhodou využije později při aplikacích integr´lu.

Všimněme si ještě limity lim_ν(D)→0S(f,D). Mohli bychom ji ch´pat tak, že obdélníčky z Obr. 8.1.4 se st´le „ztenčují“ a „zhušťují“ a lépe zakrývají křivočarý lichoběžník určený funkcí f v intervalu ⟨a,b⟩.

Řešení: 

Řešení: 

Příklad 8.1.5.

Nechť f(x) = c v ⟨a,b⟩. Pak pro libovolné dělení D = {a = x₀,x₁,…,x_n-1,x_n = b} a libovolné ξ_i ∈⟨x_i-1,x_i⟩ platí f(ξ_i) = c. Takže

A tedy pro integr´lní součty S(f,D) platí při libovolném výběru reprezentantů Funkce f(x) = c je tak v intervalu ⟨a,b⟩ integrace schopna a platí

Příklad 8.1.6.

Nechť f(x) = Buď D = {a = x₀,x₁,…,x_n-1,x_n = b} libovolné dělení, nechť ξ_i ∈ ⟨x_i-1,x_i⟩ je racion´lní číslo, η_i ∈⟨x_i-1,x_i⟩číslo iracion´lní. Pak

K libovolnému dělení D_n lze nalézt množiny {ξ_n}, {η_n} tak, že Tzn., že funkce f není v intervalu ⟨a,b⟩ integrace schopn´.

Klíčov´ slova
dělení intervalu, norma dělení, horní součet, dolní součet, zjemnění dělení, Riemannův integr´l, integr´lní součet