Riešenie diofantických rovníc v okruhu polynómov – polynomiálna metóda návrhu regulátorov



Strana 2   Strana 3

Rovnica v tvare:


je diofantická a je definovaná v množine, ktorá sa nazýva okruh.
Okruh je neprázdna algebrická množina s operáciami sčítania (+) a násobenia (·), pre jej (ľubovolné) prvky a,b,c patriace omege platí:
  • uzavretosť vzhľadom k sčítaniu a násobeniu
  • komutativita vzhľadom k sčítaniu
  • neutrálny prvok vzhľadom k sčítaniu a násobeniu
  • asociatívny zákon
  • distributívny zákon

- Okruh teda všeobecne nevyžaduje existenciu inverzného prvku vzhľadom k násobeniu ani komutativitu vzhľadom k násobeniu.
- Príklady okruhov: reálne čísla, celé čísla, polynómy nad celými i reálnymi číslami.


Lineárna diofantická rovnica



Aby bola diofantická rovnica vždy riešiteľná, musia byť a, b prvky algebrickej množiny tzv. hlavného ideálu, v ktorom leží aj riešenie diofantickej rovnice.
Inými slovami to znamená, že ku každej dvojici (či všeobecne n-tici) prvkov a, b existuje vždy jej najväčší spoločný deliteľ c.


Riešenie diofantických rovníc v okruhu polynómov



Na riešenie používame tieto metódy:
  • metódu neurčitých koeficientov,
  • zovšeobecnený Euklidov algoritmus:
    Zovšeobecnuje známy algoritmus hladania najväčšieho spoločného deliteľa dvoch celých čísiel. V každom kroku algoritmu existuje riešenie dvoch diofantických rovníc. Cielom je získat riešenie práve zadanej diofantickej rovnice alebo najväčší spoločný deliteľ a a b.



Celé cvičenie a príklady sa nachádzajú v nasledujúcej prezentácii:


Nech sa páči, stiahnite si prezentáciu k cvičeniu